Phénomène discret - Activité

L'objectif de cette activité est de comparer les tarifs proposés par deux cinémas.

Deux cinémas indépendants sont en concurrence.

Le cinéma "Épaté" décide, pour attirer davantage de clients, de modifier ses tarifs et de proposer la place de cinéma au prix de 8 € (tarif unique, quels que soient l'âge du spectateur et l'horaire choisi). 

Le cinéma "Gomme l'écran" souhaite fidéliser sa clientèle et propose quant à lui une carte d'abonnement annuel à 25 € permettant de payer chaque séance 5 € seulement (quels que soient l'âge du spectateur et l'horaire choisi). 

1. Jade prévoit d'aller trois fois au cinéma cette année.                                                                               

    a. Combien paiera-t-elle si elle se rend toujours au cinéma "Épaté" ?                                                 

    b. Combien paiera-t-elle si elle se rend toujours au cinéma "Gomme l'écran" ?

2. Jade cherche à présent à déterminer le tarif le plus avantageux selon le nombre de séances de cinéma.

    a. Elle commence le tableau suivant, le compléter.

data-formula

    b. Elle souhaite examiner toutes les possibilités et note  \(x\) , le nombre de séances de cinéma auxquelles elle assistera cette année.                     

Exprimer, en fonction de  \(x\) , le prix payé en allant exclusivement au cinéma "Épaté". On notera cette fonction \(f_E\) .               

    c. Exprimer, en fonction de  \(x\) , le prix payé en allant exclusivement au cinéma "Gomme l'écran". On notera cette fonction \(f_G\) .   

    d. À partir de combien de séances le tarif du cinéma "Gomme l'écran" est-il plus avantageux que le tarif du cinéma "Épaté" ? Justifier. On pourra répondre par un calcul, à l'aide de représentations graphiques ou d'un programme Python.

Remarque   Le nombre de séances  \(x\)  est ici un entier positif, modéliser ce problème à l'aide de suites arithmétiques (voir le chapitre "Suites arithmétiques") est donc pertinent.